2026年5月24日 3 分钟阅读 741 字 142 阅读数学

高数日更 Day1 | 函数的概念与性质：别把“函”想复杂了

考完专升本已经有一阵子了，为了防止“打开书马冬梅，合上书孙红雷”的惨剧发生，我决定用写博客的方式把高数重新“盘”一遍。今天是第一天，我们从最基础的——函数，开始。

别嫌简单，很多人微积分学得痛苦，根儿往往就出在对函数概念的理解不够透彻。

一、函数是什么？—— 先给个“身份证”

不用死磕定义，记住一句人话：

函数就是一个对应法则 $f$ ，它让一个集合 $D$ 里的任意一个 $x$ ，都能在另一个集合里找到唯一确定的 $y$ 与之对应，记作 $y = f(x)$ 。

两个关键词：

“任意” —— 定义域内的 $x$ 必须全管着，不能有遗漏。
“唯一” —— 一个 $x$ 只能生出一个 $y$ 。比如 $y^2 = x$ 就不是函数（一个正 $x$ 会生出正负两个 $y$ ），但 $y = \sqrt{x}$ 是函数（只取正）。

定义域： $x$ 的取值范围。
值域：被对应出来的所有 $y$ 的集合。

二、定义域—— 哪些“雷区”不能踩

专升本（及大部分高数考试）中，定义域主要盯住这三点：

分式的分母 不能为0。
例： $y = \frac{1}{x-2}$ → $x \neq 2$ 。
偶次根号 里面的东西必须 ≥0。
例： $y = \sqrt{4-x^2}$ → $4-x^2 \ge 0$ ，得 $-2 \le x \le 2$ 。
对数真数 必须 >0。
例： $y = \ln(x+1)$ → $x+1 > 0$ ，得 $x > -1$ 。

例1：求 $y = \frac{\sqrt{3-x}}{\ln(x-1)}$ 的定义域。
解：
根号要求 $3-x \ge 0 \Rightarrow x \le 3$ 。
对数要求真数 $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ ，且分母 $\ln(x-1) \neq 0 \Rightarrow x-1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$ 。
取交集得： $1 < x \le 3$ 且 $x \neq 2$ ，写成区间： $(1,2) \cup (2,3]$ 。

三、函数的性质——“四兄弟”来报到了

1. 有界性

如果存在一个正数 $M$ ，使得函数的所有函数值都满足 $|f(x)| \le M$ ，就称 $f(x)$ 在对应区间内有界。
比如 $y=\sin x$ 有界，因为 $|\sin x| \le 1$ 。 $y = \frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 内无界，你让它接近0它就飞上天。

2. 单调性

在区间 $I$ 内，若 $x_1 < x_2$ 恒有 $f(x_1) < f(x_2)$ ，则函数单调增加；反之单调减少。
判断时常用导数，但用定义或图像也可以。

3. 奇偶性（最爱考的对称美）

偶函数： $f(-x) = f(x)$ ，图像关于 $y$ 轴对称。如 $y=x^2$ 、 $y=\cos x$ 。
奇函数： $f(-x) = -f(x)$ ，图像关于原点对称。如 $y=x^3$ 、 $y=\sin x$ 。

特性：奇函数若在 $x=0$ 有定义，则必有 $f(0)=0$ 。
这个结论在做选择题时特别好用。

例2：判断 $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ 的奇偶性。
解：看着吓人，直接算 $f(-x) = \ln(-x + \sqrt{x^2+1})$ 。
分子有理化： $-x + \sqrt{x^2+1} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}}$ 。
所以 $f(-x) = \ln \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} = -\ln(x + \sqrt{x^2+1}) = -f(x)$ 。
是奇函数。

4. 周期性

若存在常数 $T>0$ ，使得 $f(x+T) = f(x)$ 恒成立，则 $T$ 为周期。
典型的正弦 $y=\sin x$ 周期为 $2\pi$ ，正切 $y=\tan x$ 周期为 $\pi$ 。

四、易错点提醒

定义域不能只管表达式：哪怕你把表达式化简了，定义域也不能跟着化简后的式子走。
例如 $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ 化简成 $x+1$ ，但定义域仍然是 $x \neq 1$ ，那个点是个“洞”。
奇偶性前提：定义域关于原点对称。
如果定义域是 $(1,3]$ ，讨论奇偶性根本没意义，直接说“非奇非偶”。
单调性一定要带区间：说“函数单调递增”没意义，得说“在 $(0,+\infty)$ 上单调递增”。