高数日更 Day6 | 两个重要极限与等价无穷小替换：求极限的“左膀右臂”

先公布 Day5 的每日一练答案：

利用夹逼准则求极限：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{2^n + 3^n + 5^n}$

解析：
注意到 $5^n$ 是三项中最大的，进行放缩：

取 $n$ 次根号得 由于 $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{3} = 3^0 = 1$，所以左右极限均为 $5$，由夹逼准则：

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如果说等价无穷小是求极限的“快刀”，那两个重要极限就是“基石”。它们不仅是公式，更是许多极限计算与理论推导的根源。

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一、重要极限一：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

这是所有三角函数极限的起点。它表示当 $x$（以弧度计）趋于 $0$ 时，$\sin x$ 和 $x$ 是等价无穷小，比值趋近于 $1$。

几何直观：在单位圆中，$x$ 是弧长，$\sin x$ 是对边高，$\tan x$ 是切线长，有不等式 $\sin x < x < \tan x$（第一象限），由此夹逼得极限为 $1$。

常见变形：

• $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
• $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$
• $\lim\limits_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$（由 $\sin^2(x/2)$ 导出）

例1：求 $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{2x}$
解：$\frac{\sin 5x}{2x} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$，当 $x\to 0$ 时 $\frac{\sin 5x}{5x} \to 1$，故极限为 $\frac{5}{2}$。

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二、重要极限二：$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$

这是自然对数的底 $e$ 的定义，也是处理 $1^\infty$ 型未定式的核心武器。其等价形式为：

记忆技巧：括号内是 $1+$ 无穷小，指数是无穷小的倒数，极限就是 $e$。各种变形都是往这个模式上凑。

例2：求 $\lim\limits_{x\to\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x}$
解：凑成标准形式：

例3：求 $\lim\limits_{x\to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}}$
解：$(1+3x)^{\frac{1}{x}} = \left[(1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right]^3 \to e^3$

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三、等价无穷小替换——极限运算的加速器

昨天我们列出了常用等价无穷小，今天强调使用规则和典型陷阱。

核心规则：

等价无穷小替换适用于乘除因子，即被替换的量必须是作为一个因子出现，不能对加、减项的一部分随意替换。

错误示范：$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$
若盲目将 $\sin x$ 替换为 $x$，得 $\frac{x-x}{x^3}=0$，但真实答案是 $-\frac{1}{6}$（用泰勒公式）。原因：$\sin x$ 与 $x$ 的差是一个高阶无穷小，不能在减法中直接替换掉低阶部分。

正确用法：

• 乘除因子可直接替换：$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x \cdot \ln(1+x)}{\tan x^2}$ 中每个因子都可替换。
• 加减法特殊情况下可以替换，条件是被替换的项与剩余部分不是同阶抵消。例如 $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x + \tan x}{x}$ 可替换分子各项，因为分子与分母同阶且加法。
  更稳妥的做法是：若加减项替换后原式不出现 $0$ 或抵消，就可替换；否则慎用。

例4：$\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{\sin x \cdot \tan x}$
解：$x\to 0$ 时，$e^{x^2}-1 \sim x^2$，$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，所以

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四、易错点提醒

• 重要极限一的“弧度制”前提：必须用弧度，角度制下 $\lim\limits_{\theta\to 0} \frac{\sin \theta^\circ}{\theta^\circ} = \frac{\pi}{180}$，不推荐使用。
• $1^\infty$ 型的真面目：极限 $\lim (1+\frac{a}{x})^{bx} = e^{ab}$，直接记结果更高效，但初学建议老老实实凑形式。
• 等价替换时“见因子就换”要谨慎：复合函数内部的因子也不能直接换整个复合？例如 $\sin(x^2) \sim x^2$，这是对的，因为它是乘在极限里的因子；但如果写成 $f(\sin x)$ 且外层不连续，则需小心。
• 别把等价无穷小和无穷小定义混淆：等价是比值为 $1$，不是比值为常数。

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五、每日一练

求极限：$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^x$

提示：往 $(1+\frac{1}{某})^{某}$ 的形式上凑，先做代数变形。
（明天 Day7 开头公布解析）

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写在最后
今天的两大重要极限，一个打开了三角函数的极限之门，一个定义了自然常数 $e$，它们连同等价无穷小替换，构成了求极限的“左膀右臂”。明天我们进入函数的连续性，看看怎么用连续的定义去判断间断点，并真正理解“一点处连续”的意义。