高数日更 Day3 | 函数极限（x→x₀ 与 x→∞）：从左右包抄，极限才算存在

先公布 Day2 的每日一练答案：

根据数列极限的定义，证明：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n-1}{n} = 2$

证明：
任给 $\varepsilon > 0$，要使

即 只需 $n > \dfrac{1}{\varepsilon}$。
故取正整数 $N = \left\lceil \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，恒有 $\left| \dfrac{2n-1}{n} - 2 \right| < \varepsilon$。
由数列极限的定义，$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n-1}{n} = 2$。

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昨天我们啃下了数列极限的 $\varepsilon$-$N$ 定义，今天把“极限”这个概念搬到函数上。函数极限是微积分的真正地基，左右极限的思想更是贯穿始终。

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一、函数极限的直观感受

函数 $f(x)$ 的极限描述的是：当自变量 $x$ 以某种方式趋向某个目标时，函数值 $f(x)$ 的变化趋势。与数列不同的是，$x$ 不仅可以趋于无穷，还可以趋于某个具体的点 $x_0$。

1. $x \to \infty$ 时的极限

比如 $f(x) = \dfrac{1}{x}$，当 $x$ 无限增大时，$f(x)$ 无限接近于 $0$。记作

也可以区分正无穷和负无穷：$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x}=0$，$\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x}=0$。

2. $x \to x_0$ 时的极限

比如 $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$，在 $x=1$ 处没有定义，但当 $x$ 无限趋近于 $1$ 时，$f(x)$ 的值无限趋近于 $2$。记作

这就是 $x$ 趋于定点 $x_0$ 的极限。注意，极限只管 $x$ 靠近 $x_0$ 时的趋势，与 $f(x)$ 在 $x_0$ 点有没有定义、函数值是多少毫无关系。

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二、精确的 $\varepsilon$-$\delta$ 定义

数学上给出了与数列类似但更精细的定义。

$x \to x_0$ 时的定义：

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，恒有

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$。

注意两个关键：

• $0 < |x - x_0|$：表示 $x$ 不能等于 $x_0$，极限过程不考虑那一点本身。
• $\delta$ 依赖于 $\varepsilon$：$\varepsilon$ 给得越小，$\delta$ 通常也要跟着变小，但总能找到。

$x \to \infty$ 时的定义：

$\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = A$ 是指：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists X > 0$，当 $|x| > X$ 时，有 $|f(x)-A| < \varepsilon$。

对于 $x\to +\infty$ 则是 $x > X$；$x\to -\infty$ 则是 $x < -X$。逻辑与数列完全类似，只是离散的 $n$ 换成了连续的 $x$。

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三、左右极限——极限存在的“验钞机”

在实际问题中，函数在 $x_0$ 两侧的趋势可能不同，于是引入了左极限和右极限。

• 右极限：$x$ 从 $x_0$ 的右侧（大于 $x_0$）趋近时 $f(x)$ 的极限，记作
  $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x_0^+) = A$$
• 左极限：$x$ 从 $x_0$ 的左侧（小于 $x_0$）趋近时 $f(x)$ 的极限，记作
  $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x_0^-) = A$$

极限存在的充要条件：

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$$

左右极限都存在且相等。

这就是判定函数极限是否存在的黄金法则。如果左右极限有一个不存在，或者都存在但不相等，则极限不存在。

经典例子——符号函数：

在 $x=0$ 处：

• 左极限：$\lim\limits_{x\to 0^-} f(x) = -1$
• 右极限：$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x) = 1$ 因为 $-1 \neq 1$，所以 $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$ 不存在。

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四、典型例题

例1：设 $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \le 1 \\ 2x, & x > 1 \end{cases}$，讨论 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$ 是否存在。

解：分别计算左右极限。

• 左极限（$x\to 1^-$，此时 $x<1$，用第一段）：
  $$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} (x^2+1) = 1^2+1 = 2$$
• 右极限（$x\to 1^+$，此时 $x>1$，用第二段）：
  $$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} (2x) = 2 \times 1 = 2$$

因为 $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = 2$，所以 $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = 2$（虽然 $f(1)=2$ 也等于极限，但无关紧要，这里恰好连续而已）。

例2：讨论 $\lim\limits_{x\to 0} e^{\frac{1}{x}}$ 是否存在。

解：考虑左右极限。

• $x\to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，故 $e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$，极限不存在（无穷大属于发散）。
• $x\to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，故 $e^{\frac{1}{x}} \to 0$。

因为右极限不存在（非有限数），所以 $\lim\limits_{x\to 0} e^{\frac{1}{x}}$ 不存在。

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五、易错点提醒

• 极限存在与函数值无关。在 $x_0$ 点函数可以没定义，也可以定义为其他值，只要左右极限相等，极限就存在。
• 左右极限不仅要存在，还要相等。只存在一边极限或两边极限不同，极限都不存在。
• 无穷大不是极限。极限必须是一个确定的有限常数。如果说极限是 $\infty$，意思是极限不存在的一种特殊情况（属于无穷大发散）。
• 初学用定义证明时，$\delta$ 的找法一般是解不等式：由 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 反推 $|x-x_0|$ 的范围，从而确定 $\delta$（后续我们会专门练习）。

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六、每日一练

已知函数 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x>0 \\ x+1, & x \le 0 \end{cases}$，试讨论 $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$ 是否存在，若存在求出极限值。

提示：$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$（重要极限，可先记住结论）。
（明天 Day4 开头公布详细解析高数日更 Day4 | 无穷小与无穷大：极限世界的“蚂蚁”与“大象” - 朴门沉思笔记）

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写在最后
左右极限是函数极限的“入门密码”，有了它，间断点分类、连续性能否衔接、可导性的判断全部水到渠成。掌握好这个充要条件，极限存在的讨论就再也不会模棱两可。明天我们进入无穷小与无穷大，看看极限计算中最基础的“比较”学问。