高数日更 Day4 | 无穷小与无穷大：极限世界的“蚂蚁”与“大象”

先公布 Day3 的每日一练答案：

已知函数 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x>0 \\ x+1, & x \le 0 \end{cases}$，讨论 $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$ 是否存在，若存在求出极限值。

解析：

• 左极限（$x \to 0^-$，此时用 $x \le 0$ 段的表达式 $x+1$）：
  $$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} (x+1) = 0+1 = 1$$
• 右极限（$x \to 0^+$，用 $x>0$ 段的表达式）：
  $$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$$
  这里用到了重要极限 $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$（后续会详细推导）。

因为左极限 $= 1$，右极限 $= 1$，二者相等，所以 $\lim\limits_{x\to 0} f(x) = 1$ 存在。

在函数极限的世界里，有两种特殊的“角色”几乎每道题里都会碰到——无穷小和无穷大。它们不是具体的数，而是一种变量趋势。

一、无穷小——“无限接近于零”

如果 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$（或 $x \to \infty$ 等过程），则称 $f(x)$ 为该极限过程中的无穷小量。

注意三点：

1. 无穷小是一个变量，不是一个很小的数。$0.0000001$ 不是无穷小，只有它仍在向 $0$ 趋近的过程才是。
2. 常数 $0$ 是唯一可以被视为无穷小的常数，因为它的极限就是 $0$。
3. 无穷小与过程有关。例如 $x \to 0$ 时 $x^2$ 是无穷小，但 $x \to 1$ 时它就不是无穷小了。

二、无穷大——“绝对值无限增大”

如果 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$（或 $+\infty$，$-\infty$），即 $|f(x)|$ 无限增大，则称 $f(x)$ 为该极限过程中的无穷大量。

注意： 极限为无穷大并不代表极限存在，它只是一种特殊的极限不存在（发散）情形，用符号表示其变化趋势。

无穷小与无穷大的关系：

在同一个极限过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷小；如果 $f(x)$（非零）是无穷小，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

例如：$x\to 0$ 时，$x$ 是无穷小，$\dfrac{1}{x}$ 是无穷大。

三、无穷小的比较——“蚂蚁也分大小”

同样是无穷小，趋于 $0$ 的速度可能完全不同。比如 $x\to 0$ 时，$x$ 和 $x^2$ 都趋于 $0$，但 $x^2$ 比 $x$ 更快地接近 $0$。我们用它们的比值极限来定义快慢。

设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是同一过程中的无穷小，且 $\beta \neq 0$：

1. 若 $\displaystyle \lim \frac{\alpha}{\beta} = 0$，称 $\alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小，记作 $\alpha = o(\beta)$。
   含义：$\alpha$ 比 $\beta$ 更快趋于 $0$。

2. 若 $\displaystyle \lim \frac{\alpha}{\beta} = \infty$，称 $\alpha$ 是比 $\beta$ 低阶的无穷小。
   含义：$\alpha$ 比 $\beta$ 更慢趋于 $0$。

3. 若 $\displaystyle \lim \frac{\alpha}{\beta} = c$（常数 $c \neq 0$），称 $\alpha$ 与 $\beta$ 同阶无穷小。
   特别地，若 $c=1$，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

例子：
$x\to 0$ 时，$x^2$ 是比 $x$ 高阶的无穷小，因为 $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^2}{x} = \lim\limits_{x\to 0} x = 0$。

四、常用的等价无穷小（$x\to 0$）

在极限计算中，等价无穷小替换是非常强大的工具。下面这些是必须背熟的（在乘除运算中可以直接替换）：

重要提醒： 等价无穷小替换只适用于乘除因子，不可在加减法中进行随意替换（除非满足特定条件），否则极易出错。

例1：求 $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tan 2x}{\sin 5x}$

解：当 $x\to 0$ 时，$\tan 2x \sim 2x$，$\sin 5x \sim 5x$，所以

五、易错点提醒

• 无穷小不是“很小的数”，极限为 $0$ 的变量才叫无穷小。
• 无穷大的倒数是无穷小，但前提是在同一极限过程下。
• 等价替换的条件：只能用在乘除的因子上。比如 $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3}$ 不能把 $\sin x$ 直接替换成 $x$，否则会得到 $\dfrac{x-x}{x^3}=0$，而实际答案并不是 $0$（将来用泰勒公式可解）。
• 高阶无穷小记号 $o(\beta)$ 表示的是比 $\beta$ 高阶的无穷小集合，而不是一个具体的量，常用于表达式简化和泰勒展开余项。

六、每日一练

求极限：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 3x}{\ln(1+2x)}$

提示：使用等价无穷小替换即可秒杀。
（明天 Day5 开头公布详细解析）

写在最后
无穷小和无穷大是极限语言中最基本的“词汇”，无穷小的比较更是日后求极限、讨论连续性、判断无穷级数敛散性的必备技能。明天我们学习极限运算法则与极限存在准则，包括夹逼准则和单调有界准则，看看如何优雅地“夹出”极限来。