高数日更 Day5 | 极限运算法则与存在准则：夹逼与单调，锁死那个极限

先公布 Day4 的每日一练答案：

求极限：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 3x}{\ln(1+2x)}$

解析：
当 $x\to 0$ 时，利用等价无穷小：
$\arcsin 3x \sim 3x$，$\ln(1+2x) \sim 2x$。
因此

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前两天我们认识了极限的语言和无穷小的比较，今天来点“基本功”——极限运算法则，以及两大判断极限存在的“终极武器”：夹逼准则和单调有界准则。

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一、极限的四则运算法则

如果 $\lim f(x)$ 和 $\lim g(x)$ 都存在（且为有限数），那么：

1. 和（差）的极限
   $\lim \big[ f(x) \pm g(x) \big] = \lim f(x) \pm \lim g(x)$
2. 积的极限
   $\lim \big[ f(x) \cdot g(x) \big] = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$
3. 商的极限
   若分母极限不为零，$\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$

注意：

• 前提是每个参与的极限都必须存在且有限。
• 若出现 $\infty - \infty$、$0 \cdot \infty$、$\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$ 等“未定式”，四则运算法则不能直接使用，需要先变形（通分、有理化、无穷小替换等）。

例1：$\lim\limits_{x\to 2} (3x^2 - 2x + 1)$
解：因多项式连续，直接代入：$3\cdot 2^2 - 2\cdot 2 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9$。这其实是四则运算法则与连续性的结合。

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二、复合函数的极限法则

若 $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = u_0$，且 $y = f(u)$ 在 $u_0$ 处连续，则

简单说：外层函数连续时，极限符号可以“穿进去”。这也是为什么很多极限可以直接“代入”的原因。

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三、夹逼准则——“两面夹击，无处可逃”

设 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域（或 $|x|$ 大于某正数时）成立，且

$$\lim g(x) = \lim h(x) = A$$

则

$$\lim f(x) = A$$

夹逼准则在高数中神出鬼没，尤其是处理含有复杂项但上下界可求的极限。

经典例2：$\lim\limits_{x\to 0} x \sin\dfrac{1}{x}$
解：对于任意 $x \neq 0$，有 $|\sin\frac{1}{x}| \le 1$，因此

由于 $\lim\limits_{x\to 0} (-|x|) = 0$，$\lim\limits_{x\to 0} |x| = 0$，由夹逼准则，

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四、单调有界准则——“稳中有升，必达极限”

这是判断数列极限存在的另一大利器，特别适合递推定义的数列。

如果数列 $\{x_n\}$ 单调不减（或单调不增）且有界，那么它一定收敛。

直观理解： 单调递增且有上界，数列就不能无限增长，只能渐渐趋近于某个数，这个数就是它的上确界，也就是极限。

经典例3：证明数列 $x_n = \sqrt{2 + x_{n-1}}$，$x_1 = \sqrt{2}$ 收敛，并求极限。

解：

1. 有界性：猜测上界为 $2$。当 $x_1 = \sqrt{2} < 2$，假设 $x_n < 2$，则 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = 2$，由归纳法知所有项都小于 $2$。
2. 单调性：$x_{n+1}^2 - x_n^2 = (2 + x_n) - x_n^2 = 2 + x_n - x_n^2$。在 $(0,2)$ 上 $2+x-x^2 = (2-x)(1+x) > 0$，故 $x_{n+1} > x_n$，数列单调递增。
3. 单调有界必有极限，设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = A$，对递推式两边取极限：
   $$A = \sqrt{2 + A} \implies A^2 = 2 + A \implies A^2 - A - 2 = 0$$
   解得 $A = 2$ 或 $A = -1$，由 $x_n > 0$ 舍去负值，得 $A = 2$。

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五、易错点提醒

• 四则运算法则必须在各极限均存在的前提下使用。看到 $0/0$ 不要硬套，先变形。
• 夹逼准则核心是“放大缩小要适度”：放缩后的上下界极限必须存在且相等，否则夹逼失败。
• 单调有界准则只证明极限存在，极限值需要另行求解（通常解方程）。
• 常见错误：在未证明极限存在前，设 $\lim x_n = A$ 并代入递推式。如果极限不存在，这个操作是无意义的，所以必须先证单调有界。

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六、每日一练

利用夹逼准则求极限：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{2^n + 3^n + 5^n}$

提示：找出最大项进行放缩。
（明天 Day6 开头公布详细解析）

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写在最后
夹逼准则和单调有界准则，一个靠“左右夹攻”，一个靠“自身修养”，是判断极限存在的两大经典方法。掌握它们，你就拥有了在极限世界里“抓出”隐藏极限的火眼金睛。明天我们迎来重磅内容——两个重要极限，以及等价无穷小的替换技巧汇总，极限计算将从“能算”飞跃到“巧算”。