高数日更 Day7 | 函数的连续性：不断裂，才能穿过去

先公布 Day6 的每日一练答案：

求极限：$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^x$

解析：
先做代数变形：

于是 当 $x\to\infty$ 时，$\left(1 + \frac{3}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{3}} \to e$，指数 $\frac{3x}{x-1} \to 3$，因此原极限为 $e^3$。

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极限学了一周，今天终于来到一个“承前启后”的关键概念——连续。它把极限与函数值真正统一起来，也是导数存在的先决条件。

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一、连续的定义——三个条件缺一不可

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，需要同时满足：

1. $f(x_0)$ 有定义（点必须在定义域内）；
2. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在（左右极限都存在且相等）；
3. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$（极限值等于函数值）。

用 $\varepsilon$-$\delta$ 语言说就是：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。这其实就是极限定义的“去心”条件去掉了，允许 $x = x_0$。

若三个条件任一不满足，函数在该点就间断。

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二、间断点的分类——按“致命程度”排排坐

函数间断点分为两大类：第一类（左右极限都存在）和第二类（至少一个左右极限不存在）。

第一类间断点

1. 可去间断点（点“空”了）

左右极限存在且相等，但不等于函数值，或函数在该点无定义。
形象：函数图像上有一个小“洞”，补上或移动那个点就连续了。

例1：$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，在 $x=0$ 无定义，但 $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，所以 $x=0$ 是可去间断点。
若补充定义 $f(0)=1$，就连续了。

2. 跳跃间断点（“跳”了）

左右极限都存在但不相等，函数值无论怎么定都补不上这个跳跃。
形象：图像像台阶一样断开，无法一笔画过。

例2：$f(x) = \begin{cases} x+1, & x \le 0 \\ x-1, & x > 0 \end{cases}$
左极限为 $1$，右极限为 $-1$，极限不存在，是跳跃间断点。

第二类间断点

至少有一个单侧极限不存在（通常是无界波动或趋于无穷）。

1. 无穷间断点

函数值在该点附近趋于 $\pm\infty$。

例3：$f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处，$\lim\limits_{x\to 0^-} = -\infty$，$\lim\limits_{x\to 0^+} = +\infty$，是第二类间断点（也可以称为无穷间断点）。

2. 振荡间断点

函数值在趋近该点时剧烈振荡，没有确定的极限。

例4：$f(x) = \sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 附近，函数值在 $-1$ 到 $1$ 之间无限次振荡，极限不存在，属于第二类间断点。

间断点分类总结表：

大类	子类	条件	例子
第一类	可去间断点	左右极限相等 ≠ $f(x_0)$ 或无定义	$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $0$
第一类	跳跃间断点	左右极限存在但不相等	符号函数在 $0$
第二类	无穷间断点	至少一侧极限为 $\infty$	$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $0$
第二类	振荡间断点	极限不存在且非无穷（振荡）	$\sin\frac{1}{x}$ 在 $0$

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三、连续性的运算与初等函数的连续性

1. 四则运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续。
2. 复合运算：若 $g(x)$ 在 $x_0$ 连续，$f(u)$ 在 $u_0=g(x_0)$ 连续，则 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 连续。
3. 基本初等函数（幂、指、对、三角、反三角）在定义域内处处连续。
4. 初等函数（基本初等函数经有限次四则和复合得到的函数）在定义区间内处处连续。

这就解释了为什么很多极限可以直接“代入”计算：因为初等函数在其定义区间内是连续的。

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四、易错点提醒

• 连续是点的性质：说“函数连续”必须指明在哪一点，或者说在某区间内点点连续。
• 极限存在但函数值不匹配是可去间断点，不是连续点。
• 无穷间断属于第二类，不是第一类，因为它并不是左右极限都存在。
• 初等函数求极限时，只要 $x_0$ 在定义区间内，直接代入即可；出现 $\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$ 等未定式才需要额外处理。

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五、每日一练

设函数 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x \neq 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$，问 $a$ 取何值时，函数在 $x=1$ 处连续？

（明天 Day8 开头公布解析）

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写在最后
连续性是函数最基本的“良好性质”之一。掌握了间断点的分类，你就能精准诊断一个函数在哪里断裂、以什么方式断裂。明天我们讲闭区间上连续函数的性质——有界性、最值定理、介值定理、零点定理，那些证明题里的宠儿要登场了。