高数日更 Day8 | 闭区间上连续函数的性质：藏在连续里的“四大金刚”

先公布 Day7 的每日一练答案：

设函数 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x \neq 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$，问 $a$ 取何值时，函数在 $x=1$ 处连续？

解析：
当 $x \neq 1$ 时，$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$（$x \neq 1$）。
因此 $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = \lim\limits_{x\to 1} (x+1) = 2$。
要使 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，必须有 $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = f(1) = a$，故 $a = 2$。

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今天我们来挖掘“连续”背后隐藏的几个强大性质。这些定理是高等数学证明题的核心武器，尤其在方程根的讨论中反复登场。

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一、前提条件——为什么必须是“闭区间”

以下四大定理都有一个共同的前提：

函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。

“闭区间”至关重要。如果换成开区间 $(a, b)$，定理可能全部失效。例如 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上连续但无界也无最大值，因为在端点 $0$ 处它“冲出去了”，没有闭合端点来把它“锁住”。

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二、有界性与最值定理

定理1（有界性定理）：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

定理2（最值定理）：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定能取得最大值 $M$ 和最小值 $m$，即存在 $\xi_1, \xi_2 \in [a,b]$，使得

且对一切 $x \in [a,b]$，有 $m \le f(x) \le M$。

这两个定理告诉我们：闭区间上的连续函数，既“吼不破”也“逃不掉”——上下都被紧紧控制，且最值一定能取到。

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三、介值定理——“打遍中间所有值”

定理3（介值定理）：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，则对于介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意实数 $\mu$，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得

直观理解：你从 $a$ 走到 $b$，函数值从 $f(a)$ 连续变化到 $f(b)$，中间任何一个高度 $\mu$ 都必定会被踩到。

推论——零点定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$（两端点函数值异号），则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = 0$。

零点定理是介值定理取 $\mu=0$ 的特例，也是讨论方程根存在的核心工具。

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四、典型证明题套路

这些定理在证明题中的使用往往遵循固定模式：

例：证明方程 $x^3 - 4x^2 + 1 = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有一个实根。

分析：此类题目统一套路——构造辅助函数 + 验证零点定理条件。

证明：令 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$。$f(x)$ 是多项式函数，在 $[0,1]$ 上连续。

由于 $f(0)$ 与 $f(1)$ 异号，由零点定理，至少存在一点 $\xi \in (0,1)$，使得 $f(\xi) = 0$，即方程在 $(0,1)$ 内至少有一实根。

例2：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $0 \le f(x) \le 1$。证明：存在 $\xi \in [0,1]$，使得 $f(\xi) = \xi$。

分析：这种“不动点”问题，构造函数 $F(x) = f(x) - x$，转化为零点问题。

证明：令 $F(x) = f(x) - x$，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。

若 $F(0) = 0$，则 $\xi = 0$；若 $F(1) = 0$，则 $\xi = 1$；若两者均不为零，则 $F(0) > 0$ 且 $F(1) < 0$，由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = \xi$。

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五、易错点提醒

• 定理使用前必须验证“闭区间连续”。题目给开区间的话，要想办法往闭区间上靠，或检查端点趋势。
• 零点定理只能证明根的存在性，不保证唯一性，也不给出具体的根值。要证唯一性，通常还要配合单调性。
• 介值定理里的 $\mu$ 是介于两端函数值之间，不是任意值。若 $\mu$ 在 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的范围之外，定理不适用。
• 常见错误：忘记说明“$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续”就直接用定理，会被扣步骤分。

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六、每日一练

证明方程 $e^x = 2 - x$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有一个实根。

提示：构造函数 $f(x) = e^x + x - 2$，验证零点定理条件。
（明天 Day9 开头公布解析）

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写在最后
闭区间连续函数的四大定理，是整个微积分证明体系的逻辑底座。特别是零点定理，在日后讨论方程根、中值问题、不等式证明时都会频繁出场。明天我们将正式进入微分学的大门——导数的定义与几何意义，极限学了一个多星期，终于要来点“真正的变化率”了。