高数日更 Day9 | 导数的定义：瞬间变化率的精确刻画

先公布 Day8 的每日一练答案：

证明方程 $e^x = 2 - x$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有一个实根。

证明：
令 $f(x) = e^x + x - 2$，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
计算端点值：

由于 $f(0)$ 与 $f(1)$ 异号，根据零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f(\xi) = 0$，即 $e^\xi + \xi - 2 = 0$，亦即 $e^\xi = 2 - \xi$。故原方程在 $(0,1)$ 内至少有一实根。

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告别了连续性的基石，今天我们终于叩开了微分学的大门。导数的核心思想是“瞬间变化率”，它是物理速度、经济边际量、几何切线斜率的共同数学抽象。

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一、两个经典引例

1. 变速直线运动的瞬时速度
设质点运动路程 $s = s(t)$，从 $t_0$ 到 $t_0+\Delta t$ 的平均速度为 $\frac{\Delta s}{\Delta t}$。当 $\Delta t \to 0$ 时，平均速度的极限就是瞬时速度：

2. 曲线的切线斜率
曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x_0, f(x_0))$ 处的割线斜率是 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。当 $\Delta x \to 0$ 时，割线变为切线，斜率 $k$ 就是这个差商的极限。

两个问题的数学结构完全一致，都归结为一种特殊极限——导数。

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二、导数的定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 点可导，该极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作

$$f'(x_0),\quad y'\big|_{x=x_0},\quad \frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0},\quad \frac{df}{dx}\Big|_{x=x_0}$$

常见等价形式（令 $x = x_0+\Delta x$）：

这个式子更直接地体现了“函数改变量除以自变量改变量”的极限。

例1：求 $f(x) = x^2$ 在 $x = 3$ 处的导数。

解：按定义

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三、左右导数——可导的“门槛”

与极限类似，可导也需要从两侧分别考察：

• 右导数：$f'_+(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
• 左导数：$f'_-(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

可导的充要条件：

$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $\Longleftrightarrow$ 左右导数都存在且相等，即 $f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$。

例2：讨论 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处的可导性。

解：

因为 $f'_-(0) \neq f'_+(0)$，故 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处不可导。

这个经典的“绝对值尖点”是连续但不可导的代表。

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四、导函数

如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 内的每一点都可导，就得到导函数：

它给出了任意点处切线斜率的“公式”。求导函数的过程就叫求导。

比如对 $f(x) = x^2$，$f'(x) = 2x$，那么 $f'(3)=6$ 自然可得。

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五、导数的几何意义——切线方程

导数 $f'(x_0)$ 就是曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率。

• 切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$
• 法线方程（垂直于切线）：$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$（假设 $f'(x_0) \neq 0$）

例3：求 $y = x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程和法线方程。

解：$y' = 2x$，故 $y'(1) = 2$。
切线方程：$y - 1 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 1$
法线斜率 $= -\frac{1}{2}$，法线方程：$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

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六、易错点提醒

• 导数定义中的变量符号：自变量的增量必须一致。极限式里“分母”是自变量的改变量，“分子”是因变量的改变量，错位会导致计算错误。
• 可导必须在定义域内考虑：如果 $x_0$ 不在定义域内，导数无从谈起。
• 导数是一个极限，是数：$f'(x_0)$ 是一个具体的数值（如果存在），不是函数。
• 左右导数与左右极限不同：虽然形式相似，但导数本质上是一个差商的极限，两边逼近的必须用同一函数表达式吗？对分段函数必须分段用定义。
• $|x|$ 在 $x=0$ 连续但不可导，是经典反例，一定要记住。

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七、每日一练

用定义求函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 4$ 处的导数，并写出该点处的切线方程。

提示：分子有理化。
（明天 Day10 开头公布解析）

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写在最后
导数定义的灵魂在于“差商的极限”，理解了这一点，后续所有的求导法则、微分、中值定理都将水到渠成。明天我们讲可导与连续的关系，以及基本初等函数的求导公式，从“用定义算”进化到“用公式秒杀”。