高数日更 Day10 | 可导与连续的关系：可导必连续，连续未必可导

先公布 Day9 的每日一练答案：

用定义求函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 4$ 处的导数，并写出该点处的切线方程。

解析：
按导数定义：

分子有理化： $f(4) = \sqrt{4} = 2$，切线斜率 $k = \frac{1}{4}$，切线方程为：

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昨天我们定义了导数，今天来解决一个必考的逻辑关系题：可导与连续到底谁强谁弱？ 结论是——可导更强。

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一、可导必连续

定理：若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续。

证明思路：
要证 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，即 $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = 0$。

利用可导条件：

证毕。这个证明虽然简短，但揭示了核心：差商的极限存在且有限，乘以趋于零的因子 $(x - x_0)$，结果必然为零。

直观理解：导数作为切线斜率，要求曲线在该点附近高度集中于一条直线方向。如果函数不连续（有断裂），切线根本无从谈起。

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二、连续不一定可导

定理的逆命题不成立：连续函数未必可导。关键反例：

1. 绝对值尖点：$f(x) = |x|$ 在 $x = 0$

昨天已算过，$f'_-(0) = -1$，$f'_+(0) = 1$，左右导数不相等，不可导。但 $\lim\limits_{x\to 0} |x| = 0 = f(0)$，连续。

几何直观：曲线在 $x=0$ 处折出一个“尖角”，无法确定唯一的切线。

2. 垂直切线：$f(x) = \sqrt[3]{x}$ 在 $x = 0$

导数不存在（为无穷大）。但函数在 $x=0$ 连续。曲线在该点切线垂直于 $x$ 轴。

3. 振荡型不可导：$f(x) = x\sin\frac{1}{x}$（$x\neq 0$），$f(0)=0$

函数在 $x=0$ 连续，但由于 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $0$ 附近的剧烈振荡，导数不存在。这是更高级的反例，证明振荡也能破坏可导性。

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三、关系的总结

可以这样记忆：

• 连续 = 能一笔画
• 可导 = 能一笔画，且没有“折角”或“竖直”

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四、基本初等函数的求导公式

导数计算早已无需次次用定义，下面的公式是日后的“兵器库”。今天先列出所有基本公式，后续几天会逐步推导和训练。

常数与幂函数：

指数与对数：

三角函数：

反三角函数：

这些公式是“硬通货”，今天先整体亮相，后面每天都会用。建议分组记忆，不要死记硬背，而是配合理解和练习。

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五、易错点提醒

• “可导 $\Rightarrow$ 连续”只能正向用。若已知连续，不能直接推出可导，必须另行验证。
• 分段函数在分段点处的可导性，必须用定义分别求左右导数，公式只适用于各段内部。
• $f(x)=|x|$ 是“连续但不可导”的标准答案，选择题常常出现。
• 求导公式中 $\ln$ 指的是以 $e$ 为底的自然对数，这点要区分。

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六、每日一练

讨论函数 $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\dfrac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性与可导性。

提示：连续性用夹逼准则或无穷小乘有界量；可导性用定义计算。
（明天 Day11 开头公布解析）

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写在最后
可导与连续的关系是微分学第一道逻辑分水岭。记住它，往后讨论函数光滑性、中值定理的条件、泰勒展开的合法性时都不会迷茫。明天我们进入求导法则（一）——四则运算求导与复合函数链式法则，求导速度将迎来第一次飞跃。