高数日更 Day11 | 求导法则（一）：四则运算与链式法则，求导的“组合拳”

先公布 Day10 的每日一练答案：

讨论函数 $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\dfrac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性与可导性。

连续性：
当 $x \neq 0$ 时，$|x^2\sin\frac{1}{x}| \le |x^2|$。由于 $\lim\limits_{x\to 0} |x^2| = 0$，由夹逼准则，$\lim\limits_{x\to 0} f(x) = 0 = f(0)$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续。

可导性：
按定义计算：

由于 $|\sin\frac{1}{x}| \le 1$，故 $|x\sin\frac{1}{x}| \le |x| \to 0$，极限为 $0$。因此 $f'(0) = 0$ 存在。

结论：函数在 $x=0$ 处既连续又可导，且 $f'(0)=0$。这个例子说明“振荡”不一定破坏可导性，关键看振荡的振幅衰减得有多快。

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昨天我们列出了一整套基本求导公式，但如果函数是由基本函数通过加减乘除和嵌套构成的，公式就不够用了。今天的两大法则——四则运算求导法则与复合函数链式法则，让你能求出绝大多数初等函数的导数。

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一、函数和、差、积、商的求导法则

设 $u = u(x)$，$v = v(x)$ 在点 $x$ 处可导，则：

1. 线性法则（和与差）

可以推广到有限个函数：$(u_1 \pm u_2 \pm \cdots \pm u_n)' = u_1' \pm u_2' \pm \cdots \pm u_n'$

例1：$y = x^3 + \sin x - \ln x$
解：$y' = 3x^2 + \cos x - \frac{1}{x}$

2. 乘积法则

口诀：前导后不导，加前不导后导。

推广到三个：$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

例2：$y = x^2 \cdot e^x$
解：$y' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(x^2 + 2x)$

特例——常数倍：$(C \cdot u)' = C \cdot u'$，因为常数导数为 $0$。

3. 商的法则

口诀：分子导分母，减分母导分子，比分母平方。

例3：$y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
解：

这就是 $(\tan x)' = \sec^2 x$ 的推导过程。

二、复合函数求导——链式法则

如果 $y = f(u)$，$u = g(x)$ 均可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：

口诀：由外向内，层层求导，逐层相乘。

链式法则是整个求导技术的核心。绝大多数函数都是复合的，掌握了它，求导世界才真正打开了大门。

例4：$y = \sin(x^2)$
解：$y = \sin u$，$u = x^2$。
$\frac{dy}{du} = \cos u = \cos(x^2)$，$\frac{du}{dx} = 2x$

熟练后，可以不再写出中间变量，直接心算：“外函数求导（保持自变量不变）乘以内函数求导”。

例5：$y = \ln(\cos x)$
解：外函数 $\ln$ 求导：$\frac{1}{\cos x}$；内函数 $\cos x$ 求导：$-\sin x$。

例6：$y = e^{\sin(3x)}$ （三重嵌套）
解：由外到内逐层拆解：

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三、基本求导公式与法则结合

有了法则配合公式，就能求出绝大多数初等函数的导数。综合例题：

例7：$y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
解：

例8：$y = \arctan(\frac{1}{x})$
解：

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四、易错点提醒

• 链式法则“忘记乘内导”是最高频错误。比如 $\sin(x^2)$ 求导写成 $\cos(x^2)$ 而漏了 $2x$，功亏一篑。
• 复合函数与乘积法则的混合：遇到 $x \cdot \sin(x^2)$，既要乘法则又要链式法则，要分步走，不要混。
• 商的法则中分子顺序：是“上导下不导减下导上不导”，记反会全错。
• 多层复合：从最外层开始一层层剥，剥一层乘一项，不要跳步。初学者建议画关系图。
• 指数与对数的复合：$(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$，$(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$，这两个非常常用，要烂熟。

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五、每日一练

求函数 $y = \sqrt{1 + \ln^2 x}$ 的导数。

提示：先看作幂函数 $(1+\ln^2 x)^{1/2}$，从外向内逐层求导。
（明天 Day12 开头公布解析）

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写在最后
四则运算法则和链式法则是求导的两大基本功。尤其是链式法则，它赋予了导数的无限扩展能力——无论嵌套多少层、结构多复杂，只要耐心从外到内逐层求导再相乘，就能迎刃而解。明天我们讲高阶导数，看看求了一次导之后，再求一次、再求一次，又能发现函数的什么秘密。