高数日更 Day12 | 高阶导数：一阶再一阶，挖出函数的深层秘密

先公布 Day11 的每日一练答案：

求函数 $y = \sqrt{1 + \ln^2 x}$ 的导数。

解析：
$y = (1 + \ln^2 x)^{1/2}$，由外向内逐层求导：

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导数的导数、导数的导数的导数……这种连续求导的操作叫作高阶导数。它不仅在数学分析中不可或缺，物理中的加速度、材料力学中的弯曲强度、经济学中的边际变化率变化，都离不开它。

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一、高阶导数的定义

函数 $y = f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$ 本身也是一个函数。如果它仍然可导，就得到二阶导数：

记号 $\frac{d^2 y}{dx^2}$ 表示对 $y$ 关于 $x$ 求两次导。

类似地，三阶导数：

一般地，$n$ 阶导数是一阶导数的 $n$ 次叠加：

规定 $f^{(0)}(x) = f(x)$（零阶导即原函数）。

物理意义（以位移为例）：

• $s(t)$：位置
• $s'(t)$：速度
• $s''(t)$：加速度
• $s'''(t)$：急动度（jerk）

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二、常见函数的 $n$ 阶导数公式

某些函数反复求导后会呈现明显规律，掌握这些“通项公式”能直接写出任意阶导数。

1. 幂函数 $y = x^\mu$

特别地，当 $\mu$ 为正整数 $m$ 时，若 $n > m$，导数为 $0$；若 $n = m$，导数为 $m!$。

例1：$y = x^5$，求 $y^{(5)}$ 和 $y^{(6)}$。
$y^{(5)} = 5! = 120$，$y^{(6)} = 0$。

2. 指数函数 $y = e^x$

这是最“顽固”的函数，无论求多少阶导，始终是自己。

推广：$(a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n$

3. 正弦与余弦

每次求导相当于相位超前 $\frac{\pi}{2}$，循环周期为 $4$： $\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$

4. 对数函数 $y = \ln(1+x)$

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三、高阶导数的运算法则

线性性质：$(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$
常数倍：$(C \cdot u)^{(n)} = C \cdot u^{(n)}$

对于乘积的高阶导数，有著名的莱布尼茨公式：

$$(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} \cdot v^{(k)}$$

其中 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 为二项式系数。

莱布尼茨公式与二项式展开形如一致，只是幂次变成了导数阶数。选择 $u$ 和 $v$ 时的策略是：将能“导没”的函数取作 $v$（多项式），使高阶项归零。

例2：设 $y = x^3 \cdot e^x$，求 $y^{(5)}$。

解：取 $u = e^x$（任意阶导都是 $e^x$），$v = x^3$（超过三阶导为零）。$v^{(k)} = 0$ 当 $k > 3$。

由莱布尼茨公式：

具体：

• $k=0$：$\binom{5}{0} e^x \cdot x^3 = x^3 e^x$
• $k=1$：$\binom{5}{1} e^x \cdot 3x^2 = 15x^2 e^x$
• $k=2$：$\binom{5}{2} e^x \cdot 6x = 60x e^x$
• $k=3$：$\binom{5}{3} e^x \cdot 6 = 60 e^x$

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四、易错点提醒

• 记号的区分：$f^{(n)}(x)$ 是 $n$ 阶导数，$f^n(x)$ 有时指 $n$ 次方，务必根据上下文区分。高阶导数用括号括住阶数。
• 求高阶导不要漏掉系数：每次求导产生的系数要累乘。$(\cos 2x)' = -2\sin 2x$，再导 $=-4\cos 2x$，系数在翻倍。
• 正弦余弦的高阶导：初学容易记混，建议每次加 $\frac{\pi}{2}$ 或用循环规律验证。
• 莱布尼茨公式的对称性：$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$，而且 $u$ 和 $v$ 的角色可互换，哪个“导得干净”哪个放 $v$ 位置更省力。
• 分段函数高阶导：先求出一阶导函数，再讨论二阶可导性，不能直接跳。

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五、每日一练

设 $y = x^2 \cdot \cos x$，求 $y^{(4)}$（四阶导数）。

提示：$x^2$ 超过二阶导为零，莱布尼茨公式只需算 $k=0,1,2$ 三项。
（明天 Day13 开头公布解析）

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写在最后
高阶导数是导数概念的纵深延伸。正弦余弦导数的循环规律、指数函数导数的“永恒不变”、多项式导数的“到阶归零”——这些特征各异的性质，恰好展示了函数的深层结构。明天我们学习隐函数与参数方程求导，看看当函数关系隐藏在方程里时，如何优雅地提取出导数来。